1 – Nos itens a seguir, determine quais sequencias numéricas {a_n} convergem e quais divergem. Calcule o limite de cada sequência convergente.

c) a_n = ((n + 1) / (n - 1))^n , com n ∈ N .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Quando falamos que uma sequência a n converge, estamos dizendo que conforme n aumenta, a n tende a um valor constante, ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n = C

Assim, se C é um valor finito, a sequência converge, mas se C for ou - ∞ , a sequência diverge.

E é isso que estamos interessados em descobrir nessa questão! Queremos saber se a n = n + 1 n - 1 n converge ou diverge.

Bora ver! 😁

Passo 2

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n - 1 n

Nesse caso, podemos aplicar uma regra muito interessante, que diz que o limite do quociente é igual ao quociente do limite.

E também podemos lembrar que o limite de um expoente, é o expoente do limite...

Ou seja

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n - 1 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 lim n → ∞ ⁡ n - 1 n

Se aplicarmos o método de substituição aqui, vamos chegar em ∞ ∞ ∞ , então vamos dividir tudo por n

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n lim n → ∞ ⁡ n n - 1 n n

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n

Aplicando o limite, vamos chegar em

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 1

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n = 1

Isso porque 1 / n para n → ∞ tende a 0 .

Portanto

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n - 1 n = 1 1 ∞ = 1

Assim, vemos que a n converge para 1 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n - 1 n = 1 , converge

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