Verifique se as sequências definidas pelos seguintes remos gerais convergem e, caso convirjam, calcule seus limites.

d) n ! n n

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e hoje iremos verificar se a nossa querida sequencia dada converge ou diverge. Nesse caso especifico nós iremos utilizar o teste da razão.

Seja ∑ n = 1 ∞ x n uma série numérica. A partir do cálculo do seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 x n = L

É possível termos as seguintes possibilidades

  • L < 1 , a série é absolutamente convergente
  • L > 1 ou L =   ∞ a série diverge
  • L = 1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão à sequência ( a n ) :

r n = a n + 1 a n = n + 1 ! n + 1 n + 1 n ! n n

Agora, simplificamos a expressão:

r n = n + 1 ! n + 1 n + 1 ⋅ n n n ! = n + 1 ! n ! ⋅ n n n + 1 n + 1

r n = n + 1 n n n + 1 n ( n + 1 )

r n = n n n + 1 n

Esse limite vai dar uma indeterminação

l i m n → ∞ n n n + 1 n = n n + 1 n

Eu sei e você com quem esse limite se parecesse

As propriedades de limites nos dize que lim n → ∞ ⁡ n n + k n = e - k

Então

l i m n → ∞ n n n + 1 n = n n + 1 n = 1 e < 1

a série é absolutamente convergente

Resposta

a série é absolutamente convergente

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