UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2023.1, Questão 1iii
1) Seja uma sequência definida pelas seguintes relações: para todo e .
iii) Determine seu limite.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos determinar o limite da sequência nada por com e sabendo que .
Sacou, bora começar! 😁
O limite de uma sequência é obtido fazendo tendendo a .
O resultado que vamos obter é o valor para qual a sequência converge, ou seja, conforme os termos aumentam, a sequência vai tendendo a um valor e esse valor é o resultado do limite que vamos encontrar.
Porém, ainda não temos a fórmula geral para o termo então como vamos obter esse limite?
Bora lá! 😎
Passo 2
O que temos é que dado que o termo e a sequência segue a solução , temos
Ou seja, o termo anterior é a raiz do termo atual, logo, podemos escrever os primeiros termos da sequência como
Perceba que conforme os termos vão passando, o numerador diminui. Ou seja, nossa sequência é crescente.
Porém, perceba que essa crescente é amortecida rapidamente já que o denominador sempre vai diminuindo em um ritmo cada vez menor.
Se continuássemos a escrever os termos dessa sequência, iriamos perceber que o denominador iria se aproximar cada vez mais de .
Logo, resultando em no limite.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
