UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 24
Se , então a sequência converge a:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência
E perguntou para onde ela converge.
Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números , cada um com sua posição .
Esses números estão relacionados por meio da equação do termo geral. Essa equação foi dada e é aquele . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos) na equação do termo geral.
Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando é gigantesco, ou melhor, quando
E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo
Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.
Beleza?
Então aqui a ideia é a seguinte: pegar esse termo geral e calcular o limite dele quando e verificar se esse limite é finito, se for ela converge, se não ela diverge.
Como o problema perguntou para qual valor a sequência converge, é bem possível que essa sequência seja convergente e queremos descobrir qual é o valor do limite mesmo.
Passo 2
Calculando o limite de :
Vou aqui usar a propriedade das potências que , que no nosso caso , e :
E quando , vai à zero. Então podemos dizer que vai a quando fica bem grande! Sendo assim, vou somando um valor que fica cada vez mais próximo à 1.
E embaixo?
No denominador temos , e com isso, o número embaixo só cresce. Sendo assim, podemos dizer que esse limite tende à zero, pois em cima temos um número e embaixo temos .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Como esse limite é finito, dizemos que essa sequência converge. E mais! Converge para .
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!