Se b n = 5 + 5 + 5 3 + … + 5 n n , então a sequência b n n ∈ N converge a:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência b n

b n = 5 + 5 + 5 3 + … + 5 n n

E perguntou para onde ela converge.

Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números b n , cada um com sua posição n .

Esses números estão relacionados por meio da equação do termo geral. Essa equação foi dada e é aquele b n . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número n correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos) na equação do termo geral.

Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando n é gigantesco, ou melhor, quando n → ∞

E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo

Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.

Beleza?

Então aqui a ideia é a seguinte: pegar esse termo geral e calcular o limite dele quando n → ∞ e verificar se esse limite é finito, se for ela converge, se não ela diverge.

Como o problema perguntou para qual valor a sequência converge, é bem possível que essa sequência seja convergente e queremos descobrir qual é o valor do limite mesmo.

Passo 2

Calculando o limite de b n :

lim n → ∞ ⁡ 5 + 5 + 5 3 + … + 5 n n

Vou aqui usar a propriedade das potências que x b a = x b a , que no nosso caso a = n , b = 1 e x = 5 :

lim n → ∞ ⁡ 5 + 5 + 5 3 + … + 5 1 n n

E quando n → ∞ , 1 / n vai à zero. Então podemos dizer que 5 1 n vai a 1 quando n fica bem grande! Sendo assim, vou somando um valor que fica cada vez mais próximo à 1.

E embaixo?

No denominador temos , e com isso, o número embaixo só cresce. Sendo assim, podemos dizer que esse limite tende à zero, pois em cima temos um número e embaixo temos .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

lim n → ∞ ⁡ 5 + 5 + 5 3 + … + 5 1 n n = 5 + … + 1 ∞ = 0

Como esse limite é finito, dizemos que essa sequência converge. E mais! Converge para 0 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

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