UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 43
Em relação à sequência dada por
Tem se que:
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!
O problema nos deu uma sequência assim:
Dizendo que é positivo. E nos perguntou quanto é o limite do termo geral dessa sequência quando .
Bom, o primeiro passo é descobrir quem é esse tal termo geral . A ideia aqui é fazer essa integral para determinar a expressão do termo geral
Sem seguida, com essa expressão na mão, calcular o limite quando .
Beleza? Vamos começar?
Passo 2
Analisando a integral:
Esse integrando é do tipo com , e a maneira para calcular esse tipo de integral é por substituição trigonométrica.
Vamos resolver a integral indefinida associada, depois voltar para a variável e depois aplicar os limites, ok?
A substituição trigonométrica usa como auxiliar a relação fundamental trigonométrica para a tangente:
Sendo assim, comparando com o que temos no integrando , temos que
E sua derivada é
Assim vou substituir na integral indefinida:
Mas , então a integral fica
Agora vamos voltar para a integral definida e colocar esse resultado e aplicar os limites:
Portanto a função para o termo geral é:
Podemos agora calcular o limite quando
Passo 3
Calculando o limite quando :
Qual é o ângulo que nos dá um valor infinito na tangente? Bom, precisamos relembrar como escrevemos a tangente em termos do seno e do cosseno:
Para termos um valor infinito, o denominador deve se aproximar de zero, ou seja, para qual valor de o cosseno é zero? É quando ele se aproxima de .
Beleza?
Portanto
E a resposta que nos diz isso é a letra (d).
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!