UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 9 – Questão 5k
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como
máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?
“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar e igualar a zero.
“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo
E por fim “determinar os intervalos onde é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:
Aqui precisamos tomar cuidado para adicionar a solução para ponto crítico, pois satisfaz essa equação! Agora vamos manipular um pouco mais para descobrir os outros pontos:
E que nos dá
Beleza? Temos dois pontos críticos: em e em
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada! Nossa derivada é:
Vamos avaliar primeiro em torno do ponto de :
- Para : a raiz cúbica nos fornece imagens negativas, então
- Para : por exemplo
E esse comportamento vai se repetir para todos os valores de que estão entre e !
Então em torno de não temos nem máximo, nem mínimo! Ele é apenas um ponto crítico!
Beleza?
E significa que desde até a função é decrescente
Mas precisamos analisar em torno do segundo ponto crítico: !
Para valores de menores do que , vimos que a derivada assume valores negativos, e para ? Vamos testar para
Temos valores positivos! Então isso significa que em torno de a derivada passou de assumir valores negativos para assumir valores positivos!
E não temos mais nenhum ponto crítico, ou seja, nenhuma troca de comportamento! Assim, a função é crescente de até
Passo 4
Agora vamos classificar os pontos!
Em torno de a derivada não mudou seu comportamento, isso significa que esse ponto é apenas um ponto crítico, não sendo classificado nem como máximo, nem como mínimo!
Em torno de a derivada passou de valores negativos para positivos, então esse é um ponto de mínimo local
E é isso! Espero ter ajudado!