Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como

máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente

k )   f x = x 1 3 ( x - 4 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x 1 3 ( x - 4 )

E pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?

“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar f ( x ) e igualar a zero.

“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo

E por fim “determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x 1 3 x - 4 = x 4 3 - 4 x 1 3

Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:

f ' x = 4 3 x 1 3 - 4 3 x - 2 3 = 0

4 3 x 1 3 - 4 3 x - 2 3 = 0

Aqui precisamos tomar cuidado para adicionar a solução x = 0 para ponto crítico, pois satisfaz essa equação! Agora vamos manipular um pouco mais para descobrir os outros pontos:

4 3 x 1 3 = 4 3 x - 2 3

x 1 3 x - 2 3 = 1

E que nos dá

x = 1

Beleza? Temos dois pontos críticos: em x = 1 e em x = 0

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Nossa derivada é:

f ' x = 4 3 x 1 3 - 4 3 x - 2 3

Vamos avaliar primeiro em torno do ponto de x = 0 :

  • Para x < 0 : a raiz cúbica nos fornece imagens negativas, então
  • f ' x < 0

  • Para 0 ≤ x ≤ 1 : por exemplo x = 1 / 8

f ' 1 8 = 4 3 . 1 8 3 - 4 3 . 1 1 8 2 3 = 4 3 . 1 2 - 4 3 . 1 1 2 2 = 2 3 - 16 3 <   0

E esse comportamento vai se repetir para todos os valores de x que estão entre 0 e 1 !

Então em torno de x = 0 não temos nem máximo, nem mínimo! Ele é apenas um ponto crítico!

Beleza?

E significa que desde x = - ∞ até 1 a função é decrescente

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , 1 )

Mas precisamos analisar em torno do segundo ponto crítico: x = 1 !

Para valores de x menores do que 1 , vimos que a derivada assume valores negativos, e para x > 1 ? Vamos testar para x = 8

f ' 8 = 4 3 . 8 3 - 4 3 . 1 8 2 3 = 8 3 - 1 3 > 0

Temos valores positivos! Então isso significa que em torno de x = 1 a derivada passou de assumir valores negativos para assumir valores positivos!

E não temos mais nenhum ponto crítico, ou seja, nenhuma troca de comportamento! Assim, a função é crescente de 1 até + ∞

c r e s c e n t e : 1 , + ∞

Passo 4

Agora vamos classificar os pontos!

Em torno de x = 0 a derivada não mudou seu comportamento, isso significa que esse ponto é apenas um ponto crítico, não sendo classificado nem como máximo, nem como mínimo!

Em torno de x = 1 a derivada passou de valores negativos para positivos, então esse é um ponto de mínimo local

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x = 0   p o n t o   c r í t i c o   a p e n a s

x = 1   m í n i m o   l o c a l

c r e s c e n t e   1 , ∞

d e c r e s c e n t e   ( - ∞ , 1 )

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