Calcule os pontos críticos (se existirem) de:

(e) f x = 4 arctan ⁡ ( x ) + x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função f ( x ) , se eles existirem.

Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, f ' ( x ) , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 4 arctan ⁡ ( x ) + x 2

Derivando, vamos ter:

f ' x = 4 x 2 + 1 + 2 x

Como essa é uma composição de uma função trigonométrica com uma função polinomial, ela existe para todos os valores de x . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:

f ' x = 0

4 x 2 + 1 + 2 x = 0

Multiplicando ambos os lados por x 2 + 1 :

4 + 2 x x 2 + 1 = 0

Resolvendo isso para x , vamos encontrar apenas uma raiz real:

x = - 1

Isso significa que o único ponto crítico dessa função, que zera a nossa derivada, se encontram em x = - 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  x = - 1

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