UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - IME UERJ - Aplicações das derivadas, Questão 13f
Calcule os pontos críticos (se existirem) de:
(f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função , se eles existirem.
Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando, usando a regra da cadeia, vamos ter:
Como essa é uma função trigonométrica, ela existe para todos os valores de . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:
Pra que esse produto seja verdadeiro, precisamos que pelo menos um dos termos seja igual a zero. Daí, para que , precisamos que , onde é um número inteiro. Isso ocorre quando . E como a função cosseno tem um período de , todos os pontos críticos se repetem em intervalos de . Então, nossos pontos críticos estão no intervalo:
Além disso, igualando o segundo termo a zero, teremos:
Que implica em:
Para . Esses serão os pontos críticos da nossa função.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉