Calcule os pontos críticos (se existirem) de:

(f) f x = sin ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função f ( x ) , se eles existirem.

Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, f ' ( x ) , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = sin ⁡ ( cos ⁡ x )

Derivando, usando a regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = cos ⁡ ( cos ⁡ x ) ∙ d d x ( cos ⁡ x )

f ' x = cos ⁡ ( cos ⁡ x ) ∙ ( - sin ⁡ x )

Como essa é uma função trigonométrica, ela existe para todos os valores de x . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:

f ' x = 0

cos ⁡ ( cos ⁡ x ) ∙ ( - sin ⁡ x ) = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, precisamos que pelo menos um dos termos seja igual a zero. Daí, para que cos ⁡ ( cos ⁡ x ) = 0 , precisamos que cos ⁡ x = π 2 + k π , onde k é um número inteiro. Isso ocorre quando x = cos - 1 ⁡ π 2 + k π . E como a função cosseno tem um período de 2 π , todos os pontos críticos se repetem em intervalos de 2 π . Então, nossos pontos críticos estão no intervalo:

0 ≤ x ≤ 2 π

Além disso, igualando o segundo termo a zero, teremos:

- sin ⁡ x = 0

Que implica em:

x = 2 π k   o u   x = π + 2 π k

Para k ∈ Z . Esses serão os pontos críticos da nossa função.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 2 π k ,     x = π + 2 π k

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