UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - IME UERJ - Aplicações das derivadas, Questão 16e
Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?
Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em temos um ponto de máximo ou mínimo, então:
Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.
Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função e sendo um ponto crítico da função, teremos:
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia, temos:
Agora vamos igualar esse resultado a zero:
Como o cosseno é um função periódica, temos que pensar nos valores que zeram ele. Assim, tendo como um número inteiro, vamos ter:
Ou
Então esses são os candidatos a máximo ou mínimo da função. Repare que o número ali indica apenas a periodicidade da função, então podemos usar e para avaliar os máximos e mínimos no passo seguinte, porque isso vai se repetindo a cada período da função.
Passo 3
Agora derivando novamente, encontramos a segunda derivada:
Substituindo em , temos:
Agora substituindo em :
Então, para temos esses se constituem pontos máximos da função. E para , temos e eles serão pontos mínimos da função, pelo teste da segunda derivada. Substituindo em :
E temos:
Onde .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉