Calcule o valor máximo de

f x = ln ⁡ x 2 - x

em 1 ,   3 .

Passo 1

Questão de máximo/mínimo não tem erro, é derivar e igualar a zero.

Pela regra da cadeia:

f ' x = 1 x 2 2 x - 1 = 2 x - 1

Igualando a zero:

f ' x = 2 x - 1 = 0

2 x = 1

⇒ x = 2

Então f só tem um ponto crítico, em x = 2 . Nele o valor da função é

f 2 = ln ⁡ 2 2 - 2 = 2 ln ⁡ 2 - 2

Passo 2

Os outros pontos que podem ser de máximo são as fronteiras da região: x = 1 e x = 3 .

Em x = 1 :

f 1 = ln ⁡ 1 2 - 1 = ln ⁡ 1 - 1 = - 1

Em x = 3 :

f 3 = ln ⁡ 3 2 - 3 = 2 ln ⁡ 3 - 3

Passo 3

Então temos 3 candidatos a ponto de máximo:

1 ,   - 1 ,   2,2 ln ⁡ 2 - 2     e     3,2 ln ⁡ 3 - 3

É meio difícil de comparar esses valores: - 1,2 ln ⁡ 2 - 2 e 2 ln ⁡ 3 - 3 , então o que podemos fazer é analisar o sinal da derivada. Vejamos onde ela é positiva e onde ela é negativa:

f ' x = 2 x - 1 > 0 ⇒ 2 x > 1 ⇒ 2 > x

Obs.: estamos no intervalo 1 ,   3 , ou seja, x > 0 , por isso deu pra multiplicar por x sem alterar o sinal da inequação.

f ' x = 2 x - 1 < 0 ⇒ 2 x < 1 ⇒ 2 < x

Ou seja:

  • para x ∈ 1 ,   2 : f ' x > 0 → f é crescente → f 1 < f 2
  • para x ∈ 2 ,   3 : f ' x < 0 → f é decrescente → f 2 > f 3

Daí concluímos que o ponto de máximo de f no intervalo 1 ,   3 é em x = 2 , e o valor máximo é

f 2 = 2 ln ⁡ 2 - 2

Resposta

2 ln ⁡ 2 - 2

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)