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Exercícios Resolvidos de Série alternada

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Enunciado

Passo 1

a) Bom, já que o cara mandou fazer do jeito dele nós não temos escolha: vamos seguir esse passo a passo! Então, calculando s n :

s n = ∑ k = 1 n - 1 k + 1 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + … + - 1 n + 1 1 n

Podemos perceber que os números com denominador ímpar são positivos enquanto o números com denominador par são negativos. Tomando o total de elementos como par, vai ficar:

s 2 n = 1 + 1 3 + 1 5 + … + 1 2 n - 1 - 1 2 + 1 4 + 1 6   + … + 1 2 n

Repara que o 2n ali no s 2 n é porque agora eu to garantindo que meu número n vai ser par. Separando essa soma em duas partes (uma com n ímpar e outra com n par):

s 2 n = ∑ k = 1 n 1 2 k - 1 - ∑ k = 1 n 1 2 k

E agora vamos usar o que ele deu no enunciado, que:

1 k ( k + 1 ) = 1 k - 1 k + 1

s 2 n = ∑ k = 1 n 1 2 k ( 2 k - 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 4 k 2 - 2 k

Passo 2

b) Para mostrar que a sequência converge vamos utilizar o teste da comparação no limite. Vamos fazer:

a k = 1 4 k 2 - 2 k

b k = 1 4 k 2

E nós sabemos que 1 4 k 2 converge! Então se o limite existir e for maior que zero as duas convergem. Vamos ver:

lim k → ∞ ⁡ b k a k =

lim k → ∞ ⁡ 4 k 2 - 2 k 4 k 2 =

lim k → ∞ ⁡ 1 - 1 2 k = 1 > 0

Então, pelo teste da comparação no limite:

∑ k = 1 ∞ 1 2 k ( 2 k - 1 )   c o n v e r g e

Vamos supor que essa série convirja para um valor s .

Passo 3

c) Tratando agora da sequencia s 2 n - 1 n = 1 ∞ . Analisando um pouco a sequência nós podemos perceber que quando temos um número par de elementos nós conseguimos usar a dica e chegar na sequência do item a. Entretanto, quando temos um número ímpar de elementos vai sobrar um termo sem par.

s 2 n - 1 = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + … + 1 2 n - 3 - 1 2 n - 2 + 1 2 n - 1  

s 2 n - 1 = ∑ k = 1 n - 1 1 2 k ( 2 k - 1 ) + 1 2 n - 1  

Quando calculamos o lim n → ∞ ⁡ s 2 n - 1 :

lim n → ∞ ⁡ s 2 n - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k 2 k - 1 + lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1

lim n → ∞ ⁡ s 2 n - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k 2 k - 1

Logo podemos afirmar que a sequência converge para a mesma sequência do item b.

Passo 4

d) Nós vimos que a sequência converge pro mesmo valor independente de n ser ímpar ou par. Isso quer dizer que a sequência vai convergir, em geral, pro mesmo valor sempre! Independente se n ser ímpar, par ou infinito. Então: s n converge e converge pro mesmo valor encontrado nos dois casos.

Passo 5

e) Por que o mesmo argumento não é válido? O caso que ele deu foi o seguinte:

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1

Repara que se eu tiver k par (2, por exemplo):

∑ k = 1 2 - 1 k + 1 = - 1 1 + 1 + - 1 2 + 1 = 1 - 1 = 0

E agora se eu tiver k ímpar (3, por exemplo):

∑ k = 1 3 - 1 k + 1 = - 1 1 + 1 + - 1 2 + 1 + - 1 3 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1

Então os valores sempre vão dar diferentes pra n ímpar ou par. Quando temos um número par de elementos a soma convergirá para 0 enquanto quando temos um número ímpar a soma convergirá para 1. E por isso o argumento não é válido.

Passo 6

f) A série da questão 6 é a série absoluta dessa nossa série alternada, como ela diverge e a nossa série converge podemos dizer que temos um caso de convergência condicional.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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