Séries Alternadas
Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Uma série alternada né galerinha? Vamos primeiro fazer o teste para ver se ela é absolutamente convergente, olhando essa cara, podemos comparar ela com uma função que conhecemos, mas teste da comparação não parece fácil de fazer. Mas podemos comparar ela com o teste da comparação no limite! Mas que função escolher? Ué, podemos aproveitar uma própria função que já tem nessa série : , sabemos que ela é uma p-série com , logo é divergente, então vamos ver isso daí:
Mas sabemos que , podemos substituir isso por :
Aplicando L’Hospital:
Logo a série não é absolutamente convergente!
Passo 2
Vamos usar o critério de Leibniz para verificar se ela é condicionalmente convergente, se você reparar na função , vai ver que ela é uma série descrecente, pois o valor da função vai caindo de acordo com o aumento de , mas repare também que o valor do logaritmo no limite é , ou seja, ela é limitada inferiormente, consequentemente ela é condicionalmente convergente pelo critério de Leibniz
Resposta
Condicionalmente Convergente!