(3.0) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente
ou divergente.
Passo 1
Fala aí, vamos lá analisar essas séries. Começando pela primeira.
Bom, a gente pode escrever esse numerador um pouquinho diferente para facilitar a nossa vida, né? Vê se não é a mesma coisa:
Bom, em todos os termos do nosso numerador, nós temos o multiplicando algum número, né? Podemos então colocar em evidência, né?
Agora que a malícia mor já foi feita, dá uma olhadinha nesse numerador. Que bonito!! O que tá multiplicando o nosso . Oras, é um , né Bora substituir.
É isso mesmo que você está vendo. Reduzimos aquela expressão enorme para apenas isso.
Bom, agora podemos testar algo como o Teste da Divergência.
Logo, a nossa série é DIVERGENTE.
Passo 2
Vamos agora para o item (2). Nossa série agora é uma série alternada.
Ora, podemos usar o Teste da Série Alternada então, né?
Para ser convergente, tem duas condições que a série alternada tem que satisfazer, se lembra?Vou colocar aqui. Para a série
1)
2)
Beleza, pro nosso caso, . Vamos testar a condição do limite, então:
Nesse caso, ficaríamos com , então vamos usar L’Hopital, né:
Beleza, a primeira condição foi satisfeita. Agora, vamos ver como fica a segunda:
A série para ter precisar ser decrescente. Então, a gente pode analisar a derivada da função correspondente, ou seja,
Aí se tivermos , saberemos que a série é decrescente. Então, vamos derivar essa função:
Bom, lembra que os limites do somatório era até , logo sabemos que , então na nossa derivada o numerador será negativo enquanto o denominador será sempre positivo (até porque está ao quadrado, né)
Com isso, conseguimos a nossa segunda condição:
Então, pelo teste da Série alternada, a série é convergente.Acabou o problema?? Não!!Calma, que eu já vou te explicar porque não acabou.
Olha o enunciado, a série pode ser absolutamente ou condicionalmente convergente, lembra?
Agora, a gente precisa descobrir se a série dos valores absolutos converge ou diverge.
Para isso, podemos usar a comparação no limite com a série harmônica da seguinte forma:
Logo, como a série harmônica diverge, temos que a série dos valores absolutos também diverge.
Agora siiiim!!! Conseguimos!!
Então, a nossa série
Converge condicionalmente!
Passo 3
Agora que já estamos craques em saber se a série converge ou diverge, vamos para o item (3).
A série é a seguinte:
Bom, sabemos que a função exponencial nunca é zero, néAí a gente pode dizer que:
Bom, agora só precisamos achar uma série que seja maior que a nossa.
Uma série bem parecida é
Essa série é convergente, porque lembra que ela é uma -série em que .
Aí a gente sabe que (limites do somatório) e para esses valores, o numerador da nossa série será sempre menor que essa. Calma, não se desepere!! Só estou falando que:
Agora, a gente pode voltar para a comparação:
Maravilha! Se a nossa série está entre zero e uma série convergente, temos que a nossa série é Absolutamente Convergente!
Resposta
1- Divergente
2- Condicionalmente convergente
3- Absolutamente convergente