Determinar se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos olhar primeiramente para a série absoluta
Podemos tentar comparar essa série com outra um pouco mais simples:
Para poder fazer essa comparação, primeiro precisamos saber se essa série converge ou diverge. Para isso, podemos usar o teste da integral aqui. A integral equivalente vai ser:
Nessa integral, está aparecendo o e sua derivada , então podemos usar o método da substituição simples:
Assim:
Portanto essa integral diverge e, pelo teste da integral
Diverge.
Passo 2
Legal, temos uma boa série que sabemos que diverge para poder comparar. Não dá para usar o método da comparação aqui, pois
E a série à direita diverge. Então, vamos usar o teste comparação no limite. Temos que:
Podemos fazer a substituição , com :
Assim, teremos
Portanto, como diverge, segue que
não converge absolutamente.
Passo 3
Beleza, sabemos que a série não é absolutamente convergente, mas precisamos saber se é condicionalmente convergente, para isso, vamos considerar:
Segundo o teste da série alterada, ela irá convergir se
Vamos começar verificando
Para isso, definimos tal que
Assim, temos para todo . Derivando essa função, temos, pela regra da cadeia:
Portanto, segue que é estritamente descrente e, portanto
Show, um critério já foi. Vamos ver agora
De cara, como temos uma constante no numerador e o denominador é estritamente crescente, segue que
Assim, segue pelo teste da série alternada que a série é condicionalmente convergente. 😊
Resposta
Converge condicionalmente.