UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 4n
Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos ou confirmar ou dar um contraexemplo nessa afirmação aqui
Seconverge absolutamente, então converge
Para uma série ser convergente absolutamente, ela precisa passar pelo Teste da Razão para Convergência Absoluta
Supondo uma série do tipo , fazendo
Dizemos que ela é convergente quando:
E se agora elevarmos ao quadrado o termo geral? será que essa convergência sobrevive?
Vamos usar o teste da razão, juntamente com algumas propriedades legais dos limites e mostrar se essa afirmativa está correta ou não
Mas pode ficar sossegado, vou fazer passo a passo com você! bora lá?
Passo 2
Nossa série é essa aqui
Como ela converge absolutamente, podemos afirmar que
Agora o problema afirma que se trocarmos a série resultante também irá convergir
Será que isso acontece?
Vamos chamar o novo termo geral de
Assim
Daí pelo teste da razão precisamos calcular esse limite
Mas em termos de e temos o seguinte
Tudo certinho até aqui?
Passo 3
E agora? Agora vem aquele truque sujo que você só encontra aqui! #ALERTATRUQUESUJO
Vamos relembrar de algumas propriedades dos limites:
- Propriedade da soma/subtração
- Propriedade do produto/quociente
E por fim, a propriedade da potência
A potência pode ir para fora do limite!
Assim nosso limite fica
E sabemos que
Todo número menor do que , quando elevado ao quadrado, sempre resulta em um número menor do que também! (você pode pensar no , ,...)
Portanto se converge absolutamente, então
Também converge!
Então a afirmativa é verdadeira
Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?