Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique
Passo 1
Temos no item (a) uma série alternada, então precisamos considerar as três hipóteses: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, nessa ordem.
Testando a convergência absoluta, temos o seguinte:
=
Se a série acima convergir, então nossa série converge absolutamente. Para analisá-la, aplicaremos o teste da comparação:
Como a série harmônica diverge, temos que a série dos valores absolutos também
diverge. Conclusão: nossa série não converge absolutamente.
Passo 2
Analisaremos a seguir se ela pode convergir condicionalmente. Para satisfazer essa condição, precisamos descobrir se o limite desse termo vai para 0 e se esse termo é decrescente. Assim, aplicando o Teste das séries alternadas considerando , resolveremos por L´Hospital:
Feito isso, estudaremos a monotonia da função por meio da derivada da f:
Observe que para , , então f é decrescente em ( , ). Logo, a série é condicionalmente convergente.
Resposta
- Série converge condicionalmente