Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:
Passo 1
Olha só para a nossa série, ela tem o termo , então temos aqui de cara uma série alternada. Assim já temos a deixa para usar o teste da série da alternada para verificar a convergência.
Podemos escrever nossa série da forma:
Sendo, por comparação:
E, pelo teste da série alternada, se satisfazer as condições:
Então, teremos que a série associada vai convergir. Vamos fazer essa verificação então.
Para verificar a primeira condição, vemos que podemos associar a uma função em :
Sendo esta função , ou seja, uma função que para .
Esse vem justamente do fato de termos na série, ok? Show. Com essa função podemos analisar o comportamento da derivada e verificar se é crescente ou decrescente.
Derivando usando a regra do quociente, vamos ter:
Observando essa função, vemos que:
Ou seja, garantimos apenas que:
E portanto, decrescente para . O que é equivalente a ficou de fora ☹
Mas calma, o que temos no momento é:
Para termos:
Verificamos se:
Para isso, substituímos:
De fato, temos:
Logo, garantimos também
E, portanto,
Uma condição já foi, resta saber se
Então temos que verificar se:
Temos uma razão de polinômios tendendo para infinito. Então dividimos tudo pelo polinômio de maior grau:
Agora podemos jogar o limite para dentro da fração:
Então a segunda condição também é satisfeita e temos que a série é convergente pelo teste da série alternada!
Passo 2
Vamos verificar agora se a série é absolutamente convergente, ou seja, se
é convergente. Para isso, vamos estudar alguma série para realizar a comparação. Antes disso, vamos olhar para o nosso termo:
Repara que a diferença entre os graus é . A série fundamental com essa relação é a série harmônica:
Que é uma série que diverge. Assim, como a nossa série absoluta segue um padrão de crescimento bem próximo da série harmônica que diverge, é de se esperar que a nossa série vá divergir também.
É claro que precisamos expressar essa ideia matematicamente, mas já temos um bom ponto de partida. Vamos comparar com a série harmônica!
Fazer o teste da comparação normal não vai nos levar muito longe, pois a série harmônica diverge e só conseguimos mostrar facilmente que o termo da série absoluta é menor que o termo da série harmônica.
Então, pode ser uma boa usar o teste da comparação no limite que diz que para duas séries de termos positivos (nosso caso)
Se:
Sendo um número finito, então as duas séries divergem ou convergem juntas. Legal, então vamos aplicar esse teste aí. Temos os nossos dois termos:
Aplicando o limite:
é um número finito e sabemos que a série harmônica associada ao termo diverge, então temos que
irá divergir. Com isso, temos que a série
É convergente, mas não é absolutamente convergente. Ou seja, trata-se de uma série parcialmente convergente. 😊
Resposta
Parcialmente convergente.