Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Bem, vamos primeiro entender o nosso problema:
Quando um determinado exercício nos pede intervalo de convergência, o que ele quer saber é para qual intervalo de , a série converge.
Pelo teste da razão, a gente sabe que . Essa é a única chance que a série tem para convergir. Logo, a gente pode aplicar esse teste na série dada e verificas as condições que deve obedecer para esse limite existir.
Bem, o termo e o
Colocando esses caras na razão dentro do módulo lembrando que por propriedade de potência.
Observe que podemos tirar esses e pois o módulo mata qualquer sinal negativo.
Agora que está tuto simplificado, devemos aplicar o limite e ver o que acontece com essa expressão quando vai para o infinito, certo?
Como estamos trabalhando com o limite com , pode sair do limite
Bora analisar esse limite separado?
Passo 2
Então, o limite que temos que trabalhar é
A gente pode utilizar um truque legal: ao invés de trabalhar com essa sequência, trabalharmos com a função que contêm essa sequência, ou seja, . Se essa função convergir, então a sequência também convergirá para o mesmo número :)
Tá, mas por que é legal fazer essa mudança para a função? Por que assim a gente está habilitado a trabalhar com as técnicas de limites usuais! Então vamos as contas!!!
Note que desconsideramos o módulo, pois é positivo.
Como em cima está indo para o infinito e embaixo também, podemos aplicar
Aplicando novamente, pois vai par o infinito e também, então
Simplificando essa expressão dentro do limite, vamos obter
Quando vai pra infinito, vai a e portanto
Então a gente conclui que
Passo 3
Voltando para o teste da razão, a gente chaga que
Portanto
Como pelo teste da razão, temos que ter , isso só acontece quando
Esse módulo aí significa que está em um intervalo de a , ou seja
Onde podemos ver que ganhamos duas inequações diferentes:
Se a gente isolar na primeira inequação, obteremos
E isolar na outra inequação
Ou seja,
Passo 4
Bem, a primeiro momento parece que encontramos o intervalo pedido, neh? Mas então... A gente não pode garantir que nos extremos desse intervalo, ou seja, em e , a série, convirja se lembra?
Então vamos determinar se isso acontece ou não, jogando esses valores na série
é sempre par, certo? Então é sempre igual a
Passo 5
Como a gente pode testar a convergência dessa série aí?
Bem, perceba que é sempre positivo pois tanto o quanto o são positivos; e além disso, essa sequência vai a zero, logo podemos aplicar o teste da integral. Vamos ver se isso vai dar certo? :)
O teste da integral fala que o que acontecer com essa integral, também acontece na série .
A gente pode notar que se a gente derivar , a gente obtêm , logo isso nos sugere fazer uma mudança de variável:
Portanto
Onde é uma constante de integração que vai desaparecer quando substituir os limites
Voltando com a variável
E substituindo os limites, podemos ver que essa integral diverge, pois
Logo, a série também diverge para 😊
Passo 6
Testando agora quando
Como
Essa série converge, pois ela é uma série alternada e o módulo dela vai pra zero, se lembra disso?
Prontinho! Então agora a gente pode falar que a série converge no intervalo de
E o raio de convergência é
Resposta
Intervalo de convergência:
Raio de convergência