Séries alternadas
Determine a convergência das séries numéricas, verificando todas as condições do Teste de Convergência utilizado.
Passo 1
Para a primeira série, vamos usar o Teste da Integral. Como o termo geral é , escrevemos uma função .
Notamos ainda que é uma função positiva e decrescente em (já que o denominador aumenta e a fração, como um todo, diminui).
Passo 2
Agora testamos :
Isso mostra que esta integral imprópria dá infinito (diverge). Então, pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Passo 3
Agora, temos a série , com termo geral .
Vamos usar o Teste das Séries Alternadas (Critério de Leibnitz). Só chamarmos assim: , onde .
Passo 4
Beleza, aí nós vemos que troca de sinal a cada termo (de fato, a série é alternado). E além disso é decrescente para todo :
Percebeu?
Satisfeitas as condições, concluímos que a série converge.
Resposta
Diverge.
Converge.