UFRJ. Cálculo 4. P1. 2022.1. Questão 1b.
Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.
(b) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão temos que verificar se uma série dada por diverge, converge ou converge absolutamente.
Analisando a série vemos que existe a presença de um fatorial. Nesses casos, muito provavelmente o método que vai nos dar a resposta é o teste da razão.
Ta ligado que teste é esse? 🤔🤔
O teste da razão consiste em calcularmos o limite do modulo da razão entre e . ou seja
O limite dará um resultado numérico .
Se a série converge.
Se a série diverge.
E se não podemos concluir nada.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Lembrando que temos a seguinte série.
Como dito no passo 1, vamos aplicar o método do teste da razão onde
Dessa forma, vamos calcular
e , portanto
Dessa forma, nosso limite será
Podemos simplificar nossa fração, veja só
Se escrevermos o primeiro termo dos fatoriais da e deixar os próximos em fatorial, podemos fazer o seguinte:
Perceba que podemos cortar os termos , e pois aparecem no numerador e no denominador.
Agora parece bem mais fácil, não é?
O que uma manipulação nos fatoriais não faz... 😉
Passo 3
Agora temos mais uma boa simplificação se escrevermos como .
Simplificando do numerador com o denominador
Agora por fim, se substituirmos por temos
Logo, encontramos que
Como vimos no início do problema se fosse maior que , a série seria divergente.
Ou seja
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
b)