USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 10
Considere as séries:
Podemos afirmar que:
a) As três séries (A), (B) e (C) são convergentes.
b) A série (A) é divergente, a série (B) é condicionalmente convergente e a série (C) é divergente.
c) A série (A) é divergente e ambas as séries (B) e (C) são convergentes.
d) As três séries (A), (B) e (C) são divergentes.
e) A série (A) é convergente, a série (B) é convergente, e a série (C) é divergente.
Passo 1
Fala galera, bora fazer uma questão de prova da POLI!
Nessa questão temos três séries e temos que ver quais delas são convergentes. Vamos começar pela primeira:
Para ver se essa série converge ou diverge, usamos o teste da integral:
Primeiro temos que calcular a primitiva fazendo a substituição . Assim,
Portanto,
Fazendo a integração, obtemos
Substituindo :
Portanto,
Como quando , o segundo termo do limite tende a zero. Assim,
Como a integral converge, pelo teste da integral podemos afirmar que a série (A) também converge!
Passo 2
Agora vamos para a série (B):
Note que essa série é alternada do tipo
onde
Vamos ver se essa série converge absolutamente. Para isso, consideramos
Note que essa é a série (A), que já provamos ser convergente. Com isso a série
é convergente, de modo que a série (B) converge absolutamente. Em particular, ela também é convergente! Lembre-se que
Já vimos que as séries (A) e (B) são convergentes, resta ver a série (C)!
Passo 3
Para a última série:
Novamente, vamos considerar a série para convergência absoluta:
Eu pude deixar o módulo apenas no seno pois o outro termo é sempre positivo. Lembre-se que , de modo que
Note que
Portanto,
Logo,
Mas já provamos que a série da direita é convergente (série (A)). Assim, pelo teorema do comparação, a série da esquerda (menor) também será convergente. Com isso, provamos que a série (C) é absolutamente convergente!
Note que as três séries são absolutamente convergentes. Em particular, as três são convergentes! Resposta: alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.