Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Bem, é uma série alternada, vamos ver se ela é absolutamente convergente. Mas antes temos que analisar o comportamento dessa função, nem sabemos se ela tende a quando , vamos ver isso daí:
Da pra substituir , então quando o
Assim fica:
Inderterminação de , logo, por L’Hospital:
Ok, o teste da divergência serve só quando o limite é diferente de , que aí afirmamos que ela diverge, vamos usar algum outro teste!
Passo 2
Vamos comparar com , já que ele aparece tanto na série, vamos fazer o teste da comparação no limite:
Fazendo a mesma substituição !
Por L’Hospital:
Novamente:
Então as séries tem o mesmo comportamente, como já sabemos que converge, concluímos que a série converge absolutamente pelo critério da comparação no limite!
Resposta
Converge Absolutamente