Questão 1: Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

Para testar o limite desse termo da série alternada no infinito, para saber se de fato isso vai a , a gente pode aplicar limite:

Se a gente dividir em cima e em baixo por ...

Quando vai ao infinito essas frações com no denominador vai a :

Então de fato esse cara vai a zero como a gente precisa!

Agora precisamos saber se essa sequência é decrescente! Ora os termos de são todos positivos:

Pois a raiz é positiva. Se uma função é positiva e vai a no infinito, então ela é decrescente!

Então, pelo teste da série alternada, essa série:

Converge!

Não pensou que tinha acabado, neh? Então, acabemos de ver que a série converge, mas será que ela converge absolutamente?

Então, para testar isso a gente tem que ver se essa série aqui converge:

Como é termo positivo...

Venha comigo então testar essa prima da série alternada!

Pois então, para estudar essa série, eu não sei você, mas estou pressentindo que ela diverge. Mas de onde eu tirei esse feeling? Será que virei mãe ganhei um sexto sentido? (rsrsrs )

Uma forma de verificar é comparar essas duas séries de uma maneira mais formal sem precisar recorrer ao sexto sentido de mãe: podemos verificar com o teste da comparação no limite. Vamos nessa?

Beleza, pra fazer essa comparação, vamos usar uma série que faça o numerador ficar com o mesmo grau do denominador. Então por exemplo a série harmônica:

Se passarmos esse para dentro...

Reparou que ficou com o mesmo grau em cima e em baixo? Como queríamos.

Dividindo em cima e em baixo por ...

Quando vai ao infinito, a fração vai a zero e, portanto:

Conclusão, se o limite foi a um número real, então a série testada diverge!

Resumindo, o que encontramos com esse exercício foi isso aqui:

Essa série converge. Contudo, a série de termos absolutos:

Diverge! Então a série

só pode ser Condicionalmente Convergente!