Passo 1
Vamos olhar para o primeiro caso:
Vamos usar o teste da comparação. Perceba que:
Para . Então, temos que a nossa série é sempre (a partir do ) menor que uma série convergente. Então, ela também é convergente. VERDADEIRO.
Passo 2
Agora, considerando o segundo caso:
Vamos pensar em como uma p-série com . A gente já viu que para a série converge e para a série diverge. Então vamos lá:
Aquele último termo é uma série harmônica, que a gente já viu que diverge. Logo, FALSO.
Passo 3
Olhando pro terceiro caso, temos:
Novamente, vamos pensar numa p-série com . A gente já viu que para a série converge e para a série diverge. Então vamos lá:
Aquele último termo é uma p-série com , que diverge. Logo, FALSO.
Passo 4
Quarto caso:
Vamos usar o teste da comparação, sabendo que:
Ou seja, você tem sempre o termo geral, só que está subtraindo uma parcela. Então, na pior das hipóteses, quando , o termo geral tende a . Portanto:
Logo, convergente também. VERDADEIRO.
Passo 5
Finalmente, vamos ao último caso:
Cara, tendo em vista que:
Pensa comigo: se o máximo que o pode atingir é , na pior das hipóteses
Com isso, temos que o termo da nossa série é sempre menor ou igual a um termo de uma série que converge. Portanto, a nossa converge também. VERDADEIRO.
Resposta
O segundo e o terceiro caso são falsos, os demais casos são verdadeiros.