Séries
Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.
Passo 1
Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:
Passo 2
Chamando , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:
E verificamos que o que determina a convergência da série é exatamente o termo . E sabemos que se , a série irá convergir. Pois para valores muito grandes de , começaremos a somar termos menores, menores e cada vez menores. E então a série irá convergir!
Passo 3
Isso quer dizer que se estiver entre e , nossa série converge! Como que é um número entre e , afirmamos que a série converge! E então, devemos calcular o valor da soma, ou seja, o valor para o qual ela converge!
Passo 4
Repare que a série em questão é uma Progressão Geométrica!! Significa que o próximo termo a ser somado, é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão. Nesse caso, a razão da nossa PG é . Como a soma de uma PG de razão entre e vale , podemos calcular a soma da série. Nossa série tem primeiro termo . Então: