Questão 3: Para cada uma das séries abaixo verifique se a mesma é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
EPA! Uma série alternada! Então podemos pensar no Teste da série alternada (talvez você conheça como teste de Leibniz ). Mas o nome não importa muito, o que importa é como vamos aplicar esse teste! Vem comigo, então =)
Passo 2
Bem, o teste nos pede duas condições:
- A série tem que ser alternada. Pra nossa alegria ela é! Afinal temos um alternando o sinal dos termos.
- Segundo, temos que ter o termo sendo maior que , mas ele tem que ser decrescente!
Vaja que se plicarmos o limite...
Se pensarmos na função como se fosse uma função contínua, podemos aplicar para calcular o limite mais fácil:
Agora só resta saber se é um termos decrescente! Vem comigo!
Passo 3
Veja bem que ser decrescente significa necessariamente que a derivada da função contínua correspondente à sequência deve ser negativa:
Para o nominador fica negativo, levando a derivada inteira a ficar negativa também! O significa que se a função é decrescente! Então a função discreta também é!
Assim, pelo teste de Leibniz, a série a alternada
Passo 4
MAS CALMA JOVEM! Não acabamos a análise ainda, pois o nosso problema nos pediu para verificar também quanto à convergência absoluta! Será que a série converge absolutamente?
Lembrando que convergir absolutamente significa...
No nosso caso, é ...
Como
O módulo é sempre , já o ln também pode sair do módulo já que o ele é positivo para valores de até !
Então perguntar se a série do enunciado converge absolutamente é perguntar se essa série de converge. Vamos ver se isso é verdade?
Passo 5
Como esse cara vai a e é decrescente, podemos fazer o teste a da integral, que nos diz que a série só converge se essa integral aqui convergir:
Se fizemos uma substituição do tipo...
Não se esquecendo de trocar também os limites...
Veja que essa integral diverge! Então pelo teste da integral, assim também diverge a série:
Passo 6
Com isso podemos concluir que a série
Converge, mas não absolutamente, ou seja, ela converge apenas condicionalmente, saca?