USP – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – Exercício 2
Quais das seguintes séries convergem apenas condicionalmente?
Escolha uma opção:
a) (i) e (ii)
b) (ii) e (iv)
c) (ii), (iii) e (iv)
d) (i) e (iv)
e) apenas (i)
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?
Das quatro séries fornecidas, temos que identificar aquelas que convergem apenas condicionalmente. Mas o que isso significa?
Repare que as séries são praticamente todas alternadas por causa do . A série (ii) também vai ter um comportamento alternado pois o também vai oscilar de sinal. Para essas séries alternadas pode acontecer uma coisa: a série alternada converge, mas a série “absoluta” não converge.
A série absoluta é a série que se obtém tomando-se o módulo de cada termo, eliminando o fator que faz o sinal dos termos oscilar. Quando isso, acontece (a série alternada converge, mas a série “absoluta” não), dizemos que a série converge apenas condicionalmente.
Desta forma, temos que procurar aquelas séries alternadas que convergem, mas que, quando tomamos os módulos dos termos, diverge!
Para verificar a convergência das séries alternadas, existe um critério muito útil chamado “critério das séries alternadas”. Considere uma série do tipo
Se para todo e
então a série alternada converge.
Passo 2
Vamos olhar para a primeira série:
Quando , temos que
Desta forma,
Além disso, e , de modo que
Ou ainda,
Como satisfaz os dois critérios mencionados acima, a série alternada (i) é convergente! Resta verificar agora o que acontece com a série “absoluta”:
Para ver se essa série converge ou diverge, vamos usar o teste da integral e calcular
Se a integral imprópria convergir, a série será convergente. Caso contrário, será divergente. Primeiro calculamos a primitiva fazendo :
Com isso, a integral imprópria fica
Quando , e , de modo que a integral diverge. Desta forma, a série absoluta também diverge.
Como a série alternada converge e a série absoluta diverge, a série (i) satisfaz a condição pedida no enunciado! Repare que com essa informação e analisando as alternativas, a gente nem precisa olhar para a série (iii)!
Passo 3
Para a série (ii), vamos olhar direto para a série absoluta:
Chamando o termo geral dessa série de , temos que
Com isso, o teste da comparação será bem útil aqui! Só lembrando ele, se para todo e a série converge, então a série também converge.
Nesse caso, temos , que é uma p-série com :
Toda p-série com converge, de modo que converge. Usando o teste da comparação, temos que também converge. Logo, a série (ii) converge absolutamente, não satisfazendo a condição do enunciado. Com isso, ficamos em dúvida apenas entre as alternativas D e E.
Passo 4
Para concluir o problema, só nos resta ver a série (iv):
Vamos olhar para a série “absoluta”:
Vale lembrar que , de modo que . Outra relação que vai ser útil para gente é
para suficientemente grande. já da conta do recado. Isso ocorre pois
Quando cresce, a exponencial cresce mais rapidamente que . Desta forma, para , temos
Vamos chamar novamente o teste da comparação: se e a série superior converge, então a série inferior converge também. Já vimos no passo anterior que a p-série com é convergente, de modo que
é convergente. Isso faz com que a série (iv) seja absolutamente convergente, não satisfazendo a condição do enunciado do problema!
Desta forma, a única série que converge apenas condicionalmente é a série (i), o que nos leva para a alternativa E 😊!
Resposta
Alternativa E.