UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 1.1
Determine se a série é (condicionalmente ou absolutamente) convergente, ou divergente.
Passo 1
Verificar o tipo de série. Como é uma série em que mudamos de sinal a cada termo por causa de , temos uma série altenada.
Passo 2
Utilizar o teste da série alternada.
- Vamos considerar o termo da série alternada apenas c:
- Se o nosso termo é descrescente e vai a zero quando n , então a série converge.
Passo 3
Testar se a série descresce e vai a zero quando n :
Passo 4
Descobrimos que o limite da nossa função é zero, agora precisamos saber se a nosso termo c é decrscente. Podemos tirar a derivada do nosso termo c, se ela for positiva, ele é crescente e se for negativa, decrescente.
Fazendo:
Pela regra da cadeia:
Como a derivada é menor que zero, nossa função é descrescente. Então a nossa série converge!
Passo 5
Agora precisamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso temos que ver se essa série aqui converge:
Como é sempre positivo:
Para descobrir a convergência vamos usar o teste da integral:
Vamos arrumar essa integral imprópria:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Vamos usar mudança de variável:
Temos que mudar os limites de integração:
Logo, a série de valores absolutos diverge e a nossa série converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.