Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:
- Se e converge, então converge.
Passo 1
Temos aqui nossa tese:
- converge
E nossa hipótese:
Vamos tentar chegar na hipótese por meio da tese.
Passo 2
Como para todo , então temos que:
Além disso, como ou , então:
Ou seja, vamos ter que:
Logo, o valor da série está limitado pelo valor da série . Logo, como converge, segue que
Converge. Portanto a sentença é verdadeira.
Passo 3
Temos outra forma de chegar na conclusão. A primeira é ver que, como então:
Ou seja, a série é igual a série absoluta. Como a série converge, segue que converge absolutamente também. Se uma série converge absolutamente, então converge condicionalmente. Ou seja:
Converge.
Resposta
Verdadeira.