UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV3 - 2022.2, Questão 4
Encontre a série de Maclaurin da função usando a definição da série de Maclaurin. Encontre o intervalo de convergência associado. Suponha que tenha expressão em uma série de potências e não mostre que .
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos dá a seguinte função
e, precisamos encontrar a sua série de Maclaurin, assim como encontrar o intervalo de convergência associado! Antes de discutir a questão da convergência, precisamos saber qual é o formato da série de potências. Como fazemos isso? A série de potências por Maclaurin é obtida escrevendo a seguinte série
O segredo será calcular alguns termos e ver se obtemos um padrão que possamos identificar como a nossa série! No entanto, podemos por simplicidade usar uma versão mais simples de nossa função! Saca só!
Passo 2
Só por uma questão de simplicidade, ao invés de usarmos , vamos fazer as contas para
O resultado terá o mesmo formato, só iremos precisar mudar o por no final! Vamos lá! O primeiro termo da série de Maclaurin , é simplesmente a função avaliada em , temos que
Para o segundo termo , precisamos calcular a primeira derivada e avaliar o resultado em , temos que
em , temos que
Precisamos fazer isso para mais alguns termos antes de percebermos a relação desejada! Vem comigo!
Passo 3
Para , temos a segunda derivada avaliada em , então
em , obtemos que
Vou fazer mais um e justificar o formato que irei utilizar! Vamos lá! Para , temos a terceira derivada em , portanto
em , temos que
O que podemos notar? Primeiro, apenas os termos ímpares serão não-nulos, já que todos os termos pares serão termos de seno avaliados em . E, devido a derivada do cosseno gerar um sinal negativo, teremos uma alternância de sinal para cada coeficiente! Sendo assim, podemos escrever a nossa série de potências como
O garante que para todo teremos apenas valores ímpares nas potências de , e nos dará a alternância de sinal! Vamos usar isso para escrever a nossa série desejada e então analisar a convergência! Bora lá!
Passo 4
Como disse anteriormente, para obtermos a relação desejada, precisamos substituir por , temos então que a nossa série de potência é na verdade
Agora, será que esta série é convergente? Temos acima uma série alternada, mas também uma série que tem um termo da forma , portanto, será conveniente utilizar o teste da razão para estudarmos o nosso intervalo de convergência, temos que o teste é da forma
em que é o termo identificado em
Se o limite resultar em , a série é convergente, se , temos uma série divergente, se , podemos dizer nada! Então, vamos encontrar um intervalo em para que seja menor que . Bora lá!
Passo 5
Como podemos identificar que
E, então podemos escrever que
Temos então que nosso limite tem a forma
Por sorte podemos expandir os termos no numerador da seguinte maneira, temos que , e também que , assim como , de forma, que podemos simplificar o denominador e numerador para obter
Como temos o módulo da relação acima, o sinal de menos pode ser ignorado, temos simplesmente que
Agora, só precisamos achar condições para que , e temos o nosso intervalo de convergência! Vamos lá!
Passo 6
Para que , precisamos que obedeça a seguinte desigualdade
Como temos uma função modular a desigualdade acima nos dá na verdade dois intervalos de validade, precisamos que e que , portanto, podemos escrever a seguinte desigualdade
Como temos que é simplesmente uma constante positiva, podemos dividir toda a desigualdade por para obter o intervalo para como
Essa é a forma inicial de nosso intervalo de convergência! No entanto, não podemos dizer nada sobre os valores extremos, vamos ter que verificar ambos individualmente! Vem comigo!
Passo 7
Para , temos que a nossa série toma a forma
Como temos que , podemos simplificar a expressão acima para obter
que é uma série alternada que só toma os valores e , como teste da série alternada requer que a série seja decrescente e que o limite
para , a nossa série é divergente! Note que colocar positivo, não irá afetar a análise, já que obteremos simplesmente
que nos dá resultados similares ao acima, então para , a série também é divergente, e o intervalo de convergência é o seguinte
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
A série de Maclaurin é e o intervalo de convergência é .