UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4e.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(e) Toda série convergente é absolutamente convergente.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nosso objetivo nessa questão é analisar uma afirmação a respeito de séries e provar se tal afirmação é verdadeira ou falsa.
No caso, a afirmação que foi dada é que toda série convergente é absolutamente convergente.
Será mesmo?? 🤔
Quando vamos obter a convergência de uma série sabemos que podemos encontrar três possíveis resultados. A série pode divergir, a série pode convergir absolutamente e a série pode convergir condicionalmente.
Mas então será que uma série que converge condicionalmente também converge absolutamente?
Bora ver! 😁
Passo 2
Para analisar essa afirmação, vamos usar a série dada por
Primeiro vamos ser se essa série converge absolutamente
Perceba que alterna entre e , assim, quando colocamos esse valor em modulo, vamos obter
Dessa forma, colocando nossa série em valores absolutos, transformamos ela em uma p-série dada por onde .
Para esse tipo de série temos que a regra para convergência está relacionada a , se , a série converge, se , a série diverge.
Portanto, a série diverge, logo não converge absolutamente!
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Como vimos no inicio do passo 2, a série é alternada já que os sinais dos seus termos se alternam.
Então, podemos fazer o teste das séries alternadas.
Esse teste nos diz que se uma dada série decresce onde e se , então converge.
No caso, nosso é dado por e podemos perceber que decresce já que quanto maior , maior é o denominador da divisão.
Então o primeiro critério é satisfeito.
Calculando o limite de , temos
Como tende a um numero muito grande, a fração tende a um número muito pequeno, tendendo a , com isso, temos
Os dois critérios da série alternada foram satisfeitos, portanto a série converge.
Mas como não converge absolutamente, a série converge condicionalmente!
Logo nem todas as séries que convergem, convergem absolutamente! Portento essa afirmação é falsa!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Falsa