Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 e - n

Passo 1

Ele quer a convergência dessa série, a primeira coisa que vamos fazer é analisar a convergência absoluta dessa série. Ou seja, temos que analisar

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 e - n = ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

Bem, olhando para essa série, temos uma potência e um termo n 2 , parece uma boa usar o Teste da Razão, não é? Temos:

a n = n 2 e - n

a n + 1 = ( n + 1 ) 2 e - n - 1

Aplicando o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 e - n - 1 n 2 e - n =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 e - 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ e - 1 n 2 1 + 1 n 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ e - 1 1 + 1 n 2 = e - 1 < 1

Logo, pelo Teste da razão, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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