Teste da razão
Determine o intervalo de convergência da série
Estudando a convergência dos extremos neste intervalo
Passo 1
Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter
Então vamos escrever essa série desse jeito, primeiro temos que colocar o daquele em evidência
Beleza agora temos a nossa série da forma que estamos acostumados a trabalhar.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão simplificado para séries de potências, vamos ter
Como temos um módulo podemos tirar aquele
Podemos tirar esses módulos porque o , então
Temos que resolver esse dois limites.
Passo 3
Vamso achar esses limites, começando com o que tem logaritmo
Temos uma indeterminação então podemos aplicar L’Hopital.
O outro limite vai ser
Ali temos dois polinômios, então vamos por o maior grau de em evidência
Passo 4
Voltando para o nosso limte do teste da razão
Então como , temos
Passo 5
Vamos agora calcular o intervalo de convergência, como essa série está centrada no vamos ter , assim nosso intervalo vai ser
Precisamos olhar agora os extremos desse intervalo
Passo 6
Começando com
Vamos ter
Repara que temos e no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.
Para o teste da integral temos que fazer
E antes de mais nada devemos ver se esse termo é decrescente, para isso vamos analisar a derivada dessa função.
O denominador é positivo porque é um cara ao quadrado, temos que olhar o numerador. Repara que
Como temos esse numerador é positivo, e temos uma divisão de termos positivos vezes um menos que está fora da fração, então essa derivada é sempre negativa para o nosso valor de e vai ser decrescente.
Podemos aplicar o teste da integral.
E devemos olhar a convergência da integral
Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.
Passo 7
Vamos para essa integral
Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter
Temos que resolver
Vamos fazer
E a integral vai ficar
Voltando para
Voltando para o nosso limite
Como essa integral diverge a nossa série diverge para
Passo 8
Vamos agora para
Vamos ter
Temos uma série alternada, então vamos usar o teste da série alternada.
Para a série convergir devemos ter é decrescente e o seu limite vai para quando , sendo
Vamos começar vendo o limite desse termo geral
Vamos ver agora se ele é decrescente, para isso devemos fazer
E olhar o sinal da sua derivada, mas essa função é igual aquela função que olhamos no passo 6, e já vimos que ela é decrescente.
Como é decrescente e o seu limite vai para quando , pelo teste da série alternada, a nossa série converge para
E o intervalo de convergência vai ser