Teste da comparação, Séries alternadas
Decida se a série converge condicionalmente, converge absolutamento ou divege.
Passo 1
Vamos analisar o módulo do termo geral:
A gente sabe que o arco tangente representa um ângulo da tangente tal que esse ângulo aplicado a função tangente dê o valor dentro do argumento do arco tangente, eta pau o.O. Mas enfim, a ideia é, o valor mínimo do argumento do arco tangente acontece em depois ele vai aumentando pra maior.
Então o valor mínimo do ângulo é para
Ok, o depois o cresce infinitamente, a gente sabe que o valor que representa esse infinito é pro ângulo de para a função tangente:
Então concluímos que
Pelo teste da comparação, como
Essa série é a série harmônica multiplicada por , que diverge.
Então essa série não converge absolutamente
Passo 2
Agora pra verificar se ela converge condicionalmente, vamos usar o teste da série alternada!
Temos que ver se é decrescente e se o seu limite vai para
Com
Vamos começar vendo se ela é decrescente, para isso temos que fazer
E analisar o sinal dessa derivada
Nos sabemos que
Então o numerador vai ser
O segundo cara é uma função de grau, então vamso achar as raízes dessa função, porque se ele não tiver raízes então é sempre negativo, se tiver uma raiz ele é negativo fora da raiz, e se tiver duas ele vai ser negativo a partir da maior raiz. Vamos achar
Logo ele é sempre negativo, isso diz que
Passo 3
Vamos para o limite de agora
Mas já vimos ali em cima que
Mas vimos que a partir de esse arcotangente é positivo, então
Assim pelo teorema do sanduiche
Pelo teste da série alternada essa série converge.
Resposta
Converge condicionamente