UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 11, Questão 21.
A série
É
a) condicionalmente convergente
b) absolutamente convergente
c) divergente
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, queremos saber se a série dada converge condicionalmente, absolutamente ou se não converge...
No caso, a série é dada por
E aí! Tem ideia do que podemos fazer? 🤔🤔
A primeira coisa que temos que fazer nesses casos é analisar a série de modo a encontrarmos alguma característica importante da série.
Nesse caso, vemos que o termo nos diz que essa é uma serie alternada.
Portanto, para verificar a convergência dessa série, partimos para o teste das séries alternadas.
Dada uma série alternada dada por , se os termos de decrescem e se , então a série converge absolutamente.
Pronto? Bora começar! 😎
Passo 2
Vamos verificar o primeiro quesito, se os termos de decrescem.
Escrevendo os primeiros termos, temos
Perceba que a velocidade com que o numerador aumenta, é muito menor com que o denominador aumenta. Portanto podemos afirmar que a cada termo, seu valor é menor que o termo anterior, logo, os termos de são decrescentes.
O primeiro quesito está satisfeito! Bora continuar 😁
Passo 3
Agora temos que verificar se o limite de para é igual a
Se substituirmos por logo de cara, vamos cair em uma indeterminação .
Então para contornar esse problema, vamos aplicar derivando o numerador e o denominador.
Simplificando...
Agora sim! Substituindo por , temos
Como temos um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande, o resultado é um número tão pequeno que tende para .
Com isso, o segundo critério também é satisfeito, ou seja, a série converge absolutamente!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
b) absolutamente convergente