UFJF. Equações Diferenciais I. Prova AV1. 2022.2. Questão 3c.
3 – Discuta a convergência (diverge ou converge condicionalmente ou converge absolutamente) das séries abaixo:
c)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão temos uma série dada por e nosso objetivo é mostrar que essa série diverge ou converge (absolutamente ou condicionalmente).
Ok, mas como vamos fazer isso?? 🤔🤔
Podemos chamar a série como e aplicar algum método de teste que nos dê uma resposta.
Uma dica que podemos usar é que na série temos um que nos mostra que a série é alternada.
Portanto podemos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se converge ou diverge.
Entendeu? Bora ver na prática! 😁
Passo 2
O teste das séries alternadas nos diz que se converge, então também converge.
No caso, nosso é dado por
Podemos reescrever como
Logo, temos
Assim, colocando em módulo, podemos excluir
Agora podemos calcular o limite do e se o limite resultar em , converge absolutamente.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Calculando o limite de , temos
Substituindo por , vemos que
Como consiste em um número pequeno dividido por um número muito grande, podemos fizer que essa fração tende a muito rápido, então
Sabemos que é igual a , portanto
Logo, vemos que pelo teste das séries alternadas, converge absolutamente!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
