Teste da comparação no limite, Séries alternadas
Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série
Converge.
Analisando a função, já da pra ver que o limite do termo geral vai para , porque o denominador tem grau 3 e o numerador tem grau 2, então o critério da divergência não será útil.
O Critério da raiz me parece uma péssima ideia não temos nada elevado a .
Mas e se usarmos o critério da comparação no limite?! Como o grau do denominador é a mais que o do numerador vamos comparar com a série
Opa, pelo critério da comparação no limite, essa série tem o mesmo comportamente de , logo ela diverge!
Então vimos que ela não é absolutamente convergente.
Passo 2
Agora temos que usar o critério da série alternada para ver se ela é condicionalmente convergente ou não.
Primeiro temos que ver se ela é decrescente. Para isso vamos analisar a derivada de
Isso porque, se imaginarmos isso como uma função, para ela ser decrescente a sua derivada deve ser menor que .
A derivada vai ficar
Vamos dar uma arrumada nisso
Repara que o denominador vai ser sempre positivo, isso porque é um cara ao quadrado ali.
Queremos olhar só para caras acima de , repara que
Então, como estamos pegando
E
Isso nos diz que aquele cara dentro do parênteses é negativo, o como já vimos é positivo, então vamos ter
Logo a derivada é sempre negativa para e isso nos diz que ela é decrescente.
Passo 3
Agora temos que ver se o limite do termo sem o vai para
Então a série alternada converge, e essa série é condicionamente convergente.
Resposta
Condicionamente convergente.