Séries alternadas
Decida se a série converge condicionamente ou absolutamente ou diverge
Passo 1
Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:
Converge.
Como temos dois polinômios, vamos primeiro colocar o maior grau desse polinômio em evidência
Desprezando aquele temos grandão que sobrou ali é como se tivéssemos a série vezes um número, então vamos usar o teste da comparação no limite entre esse série e a série
Passo 2
O teste de comparação no limite vai ficar
E
Isso nos diz que a série que temos tem o mesmo comportamento de
Que é a série harmônica, e ela diverge, assim a nossa série não converge absolutamente.
Passo 3
Vimos que a nossa série não converge absolutamente, temos que ver agora se ela converge condicionalmente.
Ela é uma série alternada, então vamos usar o teste da série alternada.
Temos que ver se é decrescente e se o seu limite vai para quando onde
Vamos começar com o limite, como temos um polinômio vamos colcoar o maior grau em evidência
Agora temos que ver se a função é decrescente.
Para isso fazemos
E vamos analisar a derivada dessa função para ver se ela vai ser negativa, vendo que a nossa função vai ser decrescente.
O sinal do denominador é sempre positivo, temos que ver o sinal do numerador. Como ele é uma função de segundo grau com o coeficiente de negativo essa função vai ser sempre negativa a partir da maior raiz da função.
As raízes dessa função vão ser
Ambas são negativas, isso nos diz que aquele numerador é sempre negativo para e a nossa função vai ser negativa também, sendo assim decrescente.
Como vai para quando e ela é decrescente, temos, pelo teste da série alternada, que a série converge condicionalmente.
Resposta
Converge Condicionalmente