Determinar se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
Vamos começar aplicando teste da razão para ver se conseguimos tirar alguma conclusão. Assim, temos:
Agora vamos simplificar a razão com fatorial e também distribuir a exponencial do numerador:
Para resolver esse limite, vamos usar a regra de L’Hôpital:
Assim, pelo teste da razão, essa série aí não vai ser absolutamente convergente.
Passo 2
Ok, mas precisamos saber se é condicionalmente convergente, para isso, usamos o teste da série alternada. Para satisfazê-lo, é necessário que para
tenhamos
Bem, vamos tentar atacar esse primeiro critério. Se temos
Então, como :
Então, aplicando o limite, precisamos que
Só que, pelo passo anterior, vimos justamente que esse limite vai para infinito. Portanto, essa série não atende os critérios da série alternada e irá divergir.
Resposta
Diverge.