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Exercícios Resolvidos de Série alternada

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Enunciado

3- Para cada uma das séries abaixo determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique.

b)

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1

Passo 1

Bem, se temos uma série alternada, acredito que o melhor a se fazer é começar avaliando pelo teste da série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1

Para isso, temos que verificar se:

  • A série é positiva?

    • No nosso caso, vemos que...

    n → + ∞                     e n t ã o             n 2 - 2 → + ∞         e           n 6 + 2 n + 1 → + ∞  

    n → + ∞         →           n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1 > 0

    Como o termo da série deu maior que 0 , então sim! Ela é positiva!

  • A série é decrescente?

Para verificar isso, basta ver se o termo geral vai a 0 . Como ela é positiva, se isso acontecer, então ela só pode decrescer! Como no nosso caso...

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1 = 0         →

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 6 - 2 n 6 n 6 n 6 + 2 n n 6 + 1 n 6 =

lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 - 2 n 6 1 + 2 n 5 + 1 n 6 =

lim n → ∞ ⁡ 0 1 = 0

Então ela de fato decresce!

Logo, pelo teorema de série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1             →           C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e

Passo 2

Não acabamos ainda, neh, já que ela ainda pode convergir absolutamente ou não. Então vamos verificar lembrando que para isso, basta aplicar um módulo no termo da série...

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1

E analisar a convergência da série que surgiu!

Acredito que a melhor análise que podemos fazer aqui é usando a comparação de séries já que essa série se parece muito com a série:

∑ n = 1 ∞ n 2 n 6 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Que converge!

Passo 3

Podemos começar com a seguinte comparação:

n 6 + 2 n + 1 > n 6       →         1 n 6 + 2 n + 1 < 1 n 6         →

Logo:

∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1 < ∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6     →

Agora, como...

n 2 - 2 < n 2         →

∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6 < ∑ n = 1 ∞ n 2 n 6     →

Portanto...

∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1 < ∑ n = 1 ∞ n 2 n 6 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4

∑ n = 1 ∞ 1 n 4   →       C o n v e r g e

Então, por comparação, já que a série que estamos analisando está “por baixo” da que converge, não tem outra saída...

∑ n = 1 ∞ n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1   →       C o n v e r g e

Então:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1               →             C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 2 n 6 + 2 n + 1               →             C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e

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