Séries Alternadas
a) Diga se as séries abaixo convergem ou divergem. No caso da série convergir, calcule o valor da soma.
b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.
c) Dê um exemplo de uma série que converge, mas não converge absolutamente.
d) Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se as séries e divergem então a série diverge.
Passo 1
- Para verificar que as séries convergem vamos usar o teste da série alternada.
Bom, como
Temos que
E como
Temos que as duas séries convergem.
Passo 2
Para calcular a sua soma, fazemos
E
Bom, ambas representam PG de razão e , respectivamente.
Então
E
Passo 3
b) Para ver que a série acima converge, reescreveremos ela da seguinte forma:
E portanto usaremos o teste da série alternada.
E vemos que
E
Já que o fatorial cresce muito mais rápido que a exponencial.
Então temos que a série converge.
Passo 4
c) Bom, se você tomar a série
Pelo teste da série alternada você descobre que ela converge pois
E
Mas a série
Não converge como sabemos da teoria.
Passo 5
d) A afirmação é falsa! Tome as séries
Ambas as séries divergem, por serem variações da série harmônica
Mas
Daí ficamos com
Resposta
a)
b)
Converge.
c)
d)
Afirmação falsa.