Séries Alternadas
b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.
Passo 1
b)Para determinar que a série converge vamos usar o teste das séries alternadas. Primeiro vamos ver que
Onde é o termo geral da nossa série.
Para ver se a série converge temos que verificar duas coisas:
- é decrescente
Passo 2
Bom, vamos começar pelo começo:
Quero mostrar que é decrescente, para isso vamos fazer
Assim
Agora podemos ver se essa é decrescente, se ela for a nossa série também vai ser.
Para isso temos que olhar o sinal de
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal de
O denominador é positivo independentemente do valor de , no numerador temos uma função de grau, com , assim depois da segunda raiz ele vai ser negativo, assim
E isso garante que é decrescente.
Passo 4
Para mostrar a segunda condição só temos que calcular o limite
Bom,
Isso é uma indeterminação, vamos usar L’Hopital
Continuou dando indeterminação, vamos usar L’Hopital de novo
Portanto temos que a série converge.
Resposta
A série Converge