UFRJ. Cálculo 4. P1. 2022.1. Questão 1a.
Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.
(a) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindx! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos uma série e basicamente temos que determinar se a série diverge, converge ou converge absolutamente.
As series que temos que analisar é .
Esta é uma série alternada por conta do termo então para esse caso podemos usar o teste da série alternada para verificar sua divergência.
Mas você tá sabendo que teste é esse? 🤔
No teste da série alternada temos que verificar dois requisitos. Se a série for do tipo
deve ser maior ou igual a para todo intervalo e , se essas hipóteses forem satisfeitas, a serie converge.
Preparadx?
Bora começar!
Passo 2
Vamos começar com a primeira série
Vamos ignorar o termo e verificar se seus termos são maiores que , ou seja, se é decrescente.
Lembrando que nosso é dado por
Escrevendo em números reais, temos
Com isso, vemos que no intervalo os termos da série decrescem
Quando temos um intervalo que inicia próximo ao início da série em que os termos começam a decrescer, podemos considerar que decresce.
Entendeu essa parte? 😁
Passo 3
Agora temos que verificar o limite de .
Se esse limite resultar em a serie converge.
Vamos torcer!
Se substituirmos direto, vamos ter
Temos uma indeterminação, então vamos aplicar a regra de derivando o numerador e o denominador de .
Pela regra do produto e lembrando que a derivada de , temos
Já o denominador pode ser obtido pela regra da cadeia substituindo por
Substituindo por de volta
Com isso, temos
Ainda não podemos substituir pois vai dar uma indeterminação novamente.
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Então vamos aplicar novamente!
Já vimos que a derivada de , então a derivada do numerador será
Já pela regra da cadeia novamente fazendo , a derivada do denominador será
Voltando para a resposta
Agora temos o seguinte limite
Agora sim se substituirmos por , o numerador do limite tenderá a e o denominador vai para o infinito, ou seja
O limite de da série é igual a e durante o intervalo os termos da série decrescem.
Logo os requisitos do teste da serie alternada são satisfeitos, ou seja.
Interessante, não é? 😁
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
a)