Teste da comparação no limite, Séries alternadas
Analise a convergência das séries abaixo indicadas:
Passo 1
Temos aqui uma série alternada, então precisamos considerar as três hipóteses: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, nessa ordem, ok?
Testando a convergência absoluta, temos o seguinte:
Se essa série aí convergir, então nossa série converge absolutamente. Será que ela converge?
Analisando os graus de , temos em cima e embaixo, ou seja, é como se tivéssemos , a Série harmônica, que diverge.
Como é complicado fazer uma comparação tradicional com a Série harmônica, por causa do e do , vamos aplicar o Teste da comparação no limite:
Portanto, a nossa série tem o mesmo comportamento da harmônica, como ela diverge essa série também diverge, o que nos leva a concluir que nossa série não converge absolutamente.
Passo 2
Mas ela ainda pode convergir condicionalmente, como série alternada, não é? Vamos aplicar então o Teste das séries alternadas.
Para isso temos que olhar o termo sem o sinal dessa parada.
Precisamos descobrir se o limite desse termo vai para e se esse termo é decrescente
Passo 3
Primeiro vamos ver se o limite vai para quando . Temos:
Aplicando a Regra de L’Hospital, pois tanto o denominador como o numerador estão tendendo a infinito, temos:
Então a 1ª condição está ok, o limite é zero.
Passo 4
Vamos ver agora se essa função é decrescente, para isso vamos fazer
Assim
E vamos analisar a derivada dessa função, se ela for negativa então a nossa série é decrescente.
Podemos ver o denominador é sempre positivo. Como temos um polinômio de grau no numerador, depois da última raiz desse polinômio, ele vai para ou , tudo depende do sinal do cara que está com , como ele é negativo ele vai para , isso garante que depois de um certo valor de essa função é decrescente, que é o que queríamos mostrar.
Logo pelo teste da série alternada essa série converge, e como ela não converge absolutamente ela converge condicionalmente.
Resposta
Ela converge condicionalmente