Determine o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Pow, sempre o problema te pedir o raio de convergência, o que ele está realmente querendo é saber para qual intervalo de essa série dali vai convergir.
A ideia aqui então é a gente falar que essa série converge e tirar a informação do daí, sacou?!
Ok! Então se a série converge ela satisfaz um teste muuuuito importante pra gente determinar esse raio, o teste da razão, lembra-se dele?!
Não se lembra, não tem problema que a gente vai lembrar agora! :D
É aquele teste que fala que se esse limite aqui
for menor , então com certeza a série converge e é exatamente isso que a gente vai fazer, ou seja, a gente vai avaliar esse limite
e através dele a gente vai falar quem é , pegou?
Beleza, mas quem são esses caras aí no nosso caso?
Vem comigo que você já vai descobrir ;)
Passo 2
Esse é o próprio termo da série
enquanto que o , bem... o índice já diz tudo neh:
Beleza?
Passo 3
Se a gente voltar então para o teste da razão e substituir esses caras
Vamos dar uma arrumadinha nessa casa aí, heim
Repare que como estamos trabalhando com o módulo, esse e esse , não nos interessa em nada
por propriedade de potência, podemos falar que , logo
Como esse ta multiplicando e não depende de , a gente pode tira-lo do limite, só não se esqueça de tirar com o módulo, heim!
Passando esse módulo de pra lá
Cara, se invertermos esse essa fração do outro lado, a fração de dentro do limite também inverte, olha só:
AHHHH! Não se esqueça de inverter o sinal de menor, heim!
Mas opa! Olha o que queríamos descobrir aparecendo aí!
Então vamos prosseguir com as continhas que estamos no caminho certo!
Passo 4
Agora vamos ver qual é a do limite do lado de cá
Como esses caras estão multiplicando, a gente pode usar aquela malandragem (
) e separar esse limite aí em dois
Viu? Separamos em dois limites com termos semelhantes apenas pra facilitar
Passo 5
No primeiro limite...
a gente pode eliminar esse módulo daí, porque um número natural, e portanto positivo
Repare que infelizmente a gente não pode aplicar aí
Por quê?
Porque não é uma função contínua. Na verdade ela não é nem sequer uma função !
MAS!!! (RARA! Têm um mas :D ) a gente pode trabalhar como sendo uma função contínua pro limite! Essa daqui oh
e essa função aí a gente sabe o limite por !
Logo, a gente conclui que o limite de é...
Passo 6
Quanto ao outro limite, podemos fazer algo semelhante, veja só:
Comparando com uma função que a gente pode trabalhar normal...
Chamando ...
Aplicando novamente...
Passo 7
Então voltando para aquele limite escroto que a gente tinha que resolver
Concluímos então que o raio de convergência é , pois
Pegou?
Passo 8
A gente basicamente determinou o intervalo já, mas só falta mais um detalhe: Os limites desse intervalo, e , entra no intervalo de convergência? 
Vamos testar cada um deles e tirar nossa conclusões! 
Passo 9
Vamos começar então testando o . Vamos substituir na série que desejamos testar...
Multiplicando esse aí por propriedade de potência
como é sempre par, , logo
Então temos que testar essa série aí, se converge ou diverge.
Observe que esse termo de dentro da soma é positivo sempre, e, além disso, para muito grande ele vai a , ou seja... podemos utilizar o teste da integral!
Se essa integral imprópria convergir, então a série converge, e o contrário também é válido!
Passo 10
Pra resolver essa integral aí, podemos fazer uma substituição simples...
então
Voltando para a variável original...
Se aplicarmos o limite da integral imprópria aí, vamos notar que
ele estora para o infinito
Então a integral
diverge e portanto a série
também diverge, beleza?
Passo 11
Tá, vimos que em a série não converge, mas será que acontece o mesmo para ?
Vejamos: Repetindo o raciocínio, ou seja
Repare que essa série aí, diferente da primeira é alternada de valores positivos que vai a zero! Então a gente pode afirmar com toda a certeza pelo teorema das séries alternadas que ela converge!
Sendo assim, o intervalo de convergência da série de potência é...!
(UFFFFA! Nem acredito que chegamos ao fim hehe 
)