Classifique em condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente a série

∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ ( n )

Passo 1

Primeiramente, vamos testar a convergência absoluta. Temos:

∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ ( n )

Será que essa série converge? Como o seu formato é bem simples, talvez seja uma boa o Teste da comparação, vamos tentar. Podemos afirmar que

ln ⁡ n < n

Pois temos n > 1 , portanto apenas logaritmos positivos. Logo,

1 ln ⁡ n > 1 n

Como a série ∑ 1 / ln ⁡ n tem termos maiores dos que os da Série harmônica, que diverge, podemos dizer que ela também diverge.

Logo, a série do problema não converge absolutamente.

Passo 2

Agora vamos testar a convergência condicional, pelo Teste das séries alternadas.

Sendo

b n = 1 ln ⁡ ( n )

Já vemos que lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ ( n ) = 0 e que, pelo seu formato, b n é decrescente pois

ln ⁡ ( n ) < ln ⁡ ( n + 1 )

1 ln ⁡ n > 1 l n ⁡ ( n + 1 )

Portanto, pelo Teste das séries alternadas, a série do problema converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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