PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1
Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Estamos diante aqui de uma série alternada, logo podemos usar o teste da série alternada. Temos então que verificar se...
- vai ou não a quando estiver indo para o infinito.
- E se ele é decrescente.
Se estas duas coisas estiverem ok, podemos dizer que a série converge! Vamos verificar?
Passo 2
Primeiro vamos calcular o limite e ver se vaio ou não a ...
Ora, no infinito, esse número se torna desprezível perto de , logo, quanto maior ...
Então...
Saca?
Passo 3
Agora vamos ver se ele é decrescente ou não! Bem, sabemos que uma sequência é decrescente se a derivada dela com relação a for menor que .
Ora, a sequência é a sequência que estamos analisando:
Derivando com relação a :
Colocando essa fração sobre o mesmo denominador:
Repare que é menor que , já que é positivo. E como o denominador é positivo, essa fração de fato será negativa:
Ou seja:
Sabemos que se essa derivada é menor que , etão é poruqe de fato é decrescente com !
Passo 4
Conclusão:
Se essa série está satisfazendo os dois critérios do teste da série alternada, então é porque ela converge!
Resposta
Converge.