UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4g.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(g) Para todo inteiro positivo a série alternada converge.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
O que temos que fazer nessa questão é analisar algumas afirmações sobre séries e sequências e provar que tal afirmação é verdadeira ou falsa.
Nessa alternativa, temos que analisar a afirmação que nos diz que sendo um número positivo inteiro qualquer, a série alternada converge.
Tem ideia de como analisamos isso? 🤔🤔
Como temos uma serie alternada, vamos aplicar o teste das séries alternadas e verificar se podemos usar alguma informação a nosso favor!
No caso uma série alternada é dada por , dessa forma, o teste nos diz que se decresce e se então a série converge.
Entendeu? Bora ver! 😉
Passo 2
Se a série alternada é dada por e a série dada no enunciado é , então vemos que .
Conforme aumenta, também aumenta, concorda?
Dessa forma, como o denominador cresce, a fração decresce, logo o primeiro requisito é satisfeito, correto? é decrescente.
Agora temos que verificar se é igual a
Fazendo tender ao infinito, obtemos a raiz de um numero muito grande que resulta em outro número muito grande.
Como é um numero inteiro e positivo, podemos dizer que
Assim resultando em
tende a , concorda? Temos um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande resultando em um número muito pequeno, tendendo a . Ou seja
Assim o segundo quesito também é satisfeito, portanto a série converge.
Então a alternativa é verdadeira!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Verdadeira