Decidir se a série dada coverge ou não. Em caso afirmativo, dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
Passo 1
Vamos começar olhando a série com os termos em módulo, que se ela for absolutamente convergente, temos a nossa convergência.
Vamos matar essa questão utilizando o critério da integral, com .
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é decrescente:
Logo:
é decrescente para . Vamos agora aplicar o teste da integral.
Passo 3
Vamos agora ao teste da integral:
Começando com a integral em
Substituindo: e , então:
Então, nossa integral vai ficar
Fazendo o limite agora
Como ele não tende a zero a série não converge absolutamente.
Passo 4
Agora, como a nossa série inicial
É uma série alternada, podemos usar o Critério de Leibniz.
Precisamos ver se essa função é decrescente e se o termo geral da sére vai a zero, certo?
Vamos primeiro ver se o termo geral tende a zero:
Aplicando l’Hopital:
Show, agora já vimos que o temo geral vai ser decrescente. Fizemos isso no teste da Integral ali em cima.
Então a série converge condicionalmente.
Resposta
Converge Condicionalmente.