Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.
Passo 1
Opa, temos uma série alternada. Então para testar sua convergência, basta usar o critério da série alternada.
Aqui vamos ter
Temos que ver se:
- O termo geral é decrescente
- Se o vai ser
Passo 2
Vamos começar vendo se o termo geral vai ser decrescente. Para isso, temos duas alternativas. Podemos tentar mostrar que é menor que , o que pode ser difícil, ou podemos derivar a função e ver se é negativo.
Vamos fazer a segunda forma, porque nesse caso é mais fácil mostrar isso. Afinal, adivinhar um algebrismo com logaritmo é algo beeem complicado
Derivando, vamos ter
Agora temos que analisar o sinal dessa derivada. Primeiro, vamos repara que o denominador, , é sempre positivo.
A nossa derivada vai ser negativa se o numerador for negativo, ou seja
Assim, para , o termo geral vai ser decrescente.
Passo 3
Vamos agora ao limite, que vai ser
Isso vai dar uma indeterminação, para sair dessa indeterminação, vamos aplicar L’Hospital
Logo, o nosso limite vai ser .
Acabamos de ver que a série é decrescente, e o limite do termo geral vai ser , assim ela converge pelo critério da série alternada.
Resposta
Converge